¿Qué es el residuo de Solow?

Por: José-Manuel Martin Coronado, Docente ADOSI

El residuo de Solow es un concepto muy conocido en las Teorías del Crecimiento Económico. Para entenderlo mejor, es necesario recordar la función de producción de tipo Cobb-Douglas.

Y_t = K_t^a(A_tL_t)^1-a …………………. (1)

Donde Y representa la producción, K el capital, L el trabajo, A es la tecnología y a son los rendimientos marginales decrecientes. Se trata de una ecuación no lineal que puede simplificarse (linealizarse) aplicando logaritmos.

ln(Y_t)= a.ln(K_t) + (1-a).ln(A_tL_t) …………………. (2)

ln(Y_t)= a.ln(K_t) + (1-a).ln(A_t)+ (1-a).ln(L_t) …………… (2a)

Si bien es matemáticamente posible separar la tecnología del trabajo, desde un punto de vista econométrico ello implicaría que existan dos términos con los mismos coeficientes, lo cual sólo posible lograr a través de una restricción.

De otro lado, es posible obtener una ecuación similar a la variación porcentual (tasa de crecimiento), mediante la siguiente adecuación matemática:

ln(Y_t+1)= a.ln(K_t+1) + (1-a).ln(A_t+1)+ (1-a).ln(L_t+1) …………… (2b)

ln(Y_t+1)–ln(Y_t) = a.ln(K_t+1)–a.ln(K_t)+(1-a).ln(A_t+1)-(1-a).ln(A_t)+(1-a).ln(L_t+1)-(1-a).ln(L_t) ….. (3)

ln(Y_t+1/Y_t) = a.ln(K_t+1/K_t) + (1-a).ln(A_t+1/A_t) + (1-a).ln(L_t+1/L_t) ………. (3a)

g_Yt = a.g_Kt + (1-a)g_At + (1-a)g_Lt ………. (3b)

Dado que el residuo de solow corresponderá a g_A entonces se procederá a reordenar el modelo:

g_At = [1/(1-a)]g_Yt – [a/(1-a)].g_Kt + g_Lt ………. (3c)

Nótese que el trabajo se queda sin coeficiente dado que comparte el mismo coeficiente de la tecnología, sin embargo ello no necesariamente tiene que ser así.

g_At = [1/(1-a)].g_Yt – [a/1-a)]g_Kt + [c/(1-a)]g_Lt ………. (3d)

Por otra parte, puede observarse que este modelo asume que el crecimiento de la productividad total de factores y/o residuo de Solow es variable, sin embargo, otro tipo de modelamiento es posible, asumiendo que g_A tiene un comportamiento propio (exógeno). la siguiente expresión:

A_t+1 = (1+g_At)A_te_t ……..(4)

Y de modo similar:

ln(A_t+1/A_t) = ln(1+g_At) + ln(e_t) ……..(4a)

ln(A_t/A_t-1) = g_At= ln(1+g_At-1) + ln(e_t-1) ……..(4b)

Esta forma de modelar la evolución de productividad total de factores considera la tasa de crecimiento actual depende de la tasa de crecimiento anterior así como de los choques (shocks) anteriores.

En cualquier de sus formas, el residuo de Solow (Tecnología, Productividad Total de Factores) es de especial interés en la macroeconomía dinámica, en particular en las teorías del crecimiento económico, por lo que es necesario que todo economista lo conozca en sus formas básicas, así como en todas sus variantes más complejas.